Կրամերը իշխանության եւ դրա կիրառումը

Կրամերը ի կանոն մեկն է ճշգրիտ մեթոդների լուծելու համար համակարգերի գծային հանրահաշվական հավասարումների (Slough): Նրա ճշտությունը պայմանավորված է օգտագործման որոշիչ գործոնների վրա համակարգի մատրիցով, ինչպես նաեւ որոշ սահմանափակումների պարտադրված է ապացուցի, որ թեորեմի.

Համակարգ գծային հանրահաշվական հավասարումների հետ գործակիցները պատկանող, օրինակ, մի բազմազանության R - իրական համարները անծանոթների x1, x2, ..., XN մի հավաքածու արտահայտություններով

ai2 x1 + ai2 x2 + ... Ain XN = BI կապնվել i = 1, 2, ..., մ, (1)

որտեղ Aij, Bi - իրական թվեր: Յուրաքանչյուրը այդ արտահայտություններից կոչվում է գծային հավասարումը, Aij - գործակիցներն unknowns, Bi - անկախ գործակիցները հավասարումների.

լուծումը (1) անդրադարձել է n-ծավալային վեկտորին x ° = (x1 °, x2 °, ..., XN °), ժամը որը փոխարինում են համակարգի անհայտ x1, x2, ..., XN, յուրաքանչյուր գծերի համակարգում դառնում լավագույն հավասարում ,

Համակարգը, որը կոչվում է հետեւողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում, եւ անհետեւողական, եթե դա համընկնում է լուծում փաթեթի դատարկ set.

Այն պետք է հիշել, որ որպեսզի գտնել լուծումներ տալու համակարգերի գծային հավասարումների օգտագործելով մեթոդը Cramer, matrix համակարգերը պետք է լինեն քառակուսի, որը հիմնականում նշանակում է նույն քանակությամբ անհայտների ու հավասարումների համակարգի:

Այնպես որ, պետք է օգտագործել Կրամերը ի մեթոդը, դուք պետք է գոնե իմանալ , թե ինչ է Matrix է մի համակարգ գծային հանրահաշվական հավասարումների, եւ դա է տրված: Եւ երկրորդ, հասկանալ, թե ինչ կոչվում է որոշիչը է մատրիցով եւ սեփական հմտությունների հաշվարկի:

Եկեք ենթադրենք, որ այս գիտելիքը դուք տիրապետում: Հրաշալի! Ապա դուք պետք է պարզապես անգիր բանաձեւեր որոշիչ Kramer մեթոդը: Է պարզեցնել Memorization օգտագործեք հետեւյալ նշում:

• Det - ի հիմնական որոշիչ մատրիցով համակարգի.

• deti - որոշիչն է մատրիցով ստացված առաջնային մատրիցով համակարգի փոխարինելով i-րդ սյունակում մատրիցի սյունակի վեկտորի որի տարրերը ճիշտ կողմերը գծային հանրահաշվական հավասարումների.

• n - թիվն անհայտների ու հավասարումների համակարգի:

Ապա Կրամերը իշխանության հաշվարկն i-րդ բաղադրիչը xi (i = 1, .. n) n-ծավալային վեկտորը x կարելի է գրել նաեւ

xi = deti / Det, (2):

Այս դեպքում, Det խիստ տարբերվում զրոյից.

Եզակիությունը լուծման համակարգի, երբ այն համատեղ տրամադրվում են անհավասարության պայմանով հիմնական որոշիչ է համակարգի զրոյի: Հակառակ դեպքում, եթե գումարը (xi), քառակուսի, խիստ դրական է, ապա SLAE քառակուսի մատրիցան է անիրագործելի: Սա կարող է տեղի ունենալ, մասնավորապես, երբ առնվազն մեկը Երեխաներ զրոյական:

Օրինակ 1: Է լուծել եռաչափ Lau համակարգը օգտագործելով CRAMER ի բանաձեւը:
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10:

Որոշումը: Մենք գրի matrix համակարգի գծի գծի, որտեղ i -ն i- րդ տողը մատրիցով.
A1 = (1, 2, 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1, 1):
Սյունակ ազատ գործակիցների բ = (31 հոկտեմբերի 29):

Հիմնական համակարգը որոշիչ Det
Det = A11 A22 À33 + A12 A23 Ա31 + Ա31 Ա21 Ա 32 - Ա 13 Ա 22 Ա 31 - Ա 11 Ա 32 Ա 23 - À33 Ա21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27:

Է հաշվարկել permutation det1 օգտագործելով A11 = B1, Ա21 = B2, Ա31 = B3. ապա
det1 = b1 a22 À33 + A12 A23 B3 + Ա31 b2 Ա 32 - Ա 13 Ա 22 b3 - b1 Ա 32 Ա 23 - À33 B2 A12 = ... = -81:

Նմանապես, որպեսզի հաշվարկել det2 օգտագործման փոխարինումը A12 = B1, a22 = B2, Ա 32 = B3, եւ, համապատասխանաբար, պետք է հաշվարկել det3 - A13 = B1, A23 = B2, À33 = B3.
Ապա դուք կարող եք ստուգել, որ det2 = -108, եւ det3 = - 135.
Ըստ բանաձեւերի Կրամերը բացահայտել x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5:

Պատասխան: x ° = (3,4,5):

Հենվելով կիրառելիության սույն կանոնի, եղանակը Կրամերը համակարգերի գծային հավասարումների կարող է օգտագործվում է անուղղակիորեն, օրինակ, հետաքննել համակարգը հնարավոր թվի լուծումների, կախված արժեքի մի պարամետր k.

Օրինակ, 2. որոշել, թե ինչ արժեքներ է պարամետր k անհավասարության | KX - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 ունի, թե մեկ լուծում.

Որոշումը:
Այս անհավասարությունը, ըստ սահմանման մոդուլի գործառույթը կարող է իրականացվել միայն այն դեպքում, եթե երկու նիշ զրո են միաժամանակ: Հետեւաբար, այս խնդիրը կրճատվել է լուծման գծային հանրահաշվական հավասարումների

KX - y = 4,
x + KY = -4.

Որ լուծում է այս համակարգին, միայն եթե դա հիմնական որոշիչ է
Det = k ^ {2} + 1 զրոյական: Հասկանալի է, որ սա պայման է բավարարված բոլոր իրական արժեքների պարամետր k.

Պատասխան: բոլոր իրական արժեքների պարամետր k.

Նպատակներն այս տեսակի կարող է կրճատվել նաեւ բազմաթիվ գործնական խնդիրներ ոլորտում մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի կամ քիմիայի.