Ճոճանակ ժամկետը եւ արագացումը բանաձեւով

Մեխանիկական համակարգ է, որը բաղկացած է մի նյութական կետի (մարմնի), որը կախված է անկշիռ inextensible թելիկը (նրա զանգվածը չնչին համեմատ ծանրությունից մարմնի) եւ միասնական ձգողական դաշտի, որը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակ (մեկ այլ անուն - oscillator): Կան նաեւ այլ տեսակի սարքերի. Փոխարենը մի թելիկ անկշիռ ձողից կարող է օգտագործվել: Ճոճանակ կարող հստակ բացահայտել էությունը շատ հետաքրքիր երեւույթների. Երբ փոքր լիություն թրթիռներն իր միջնորդությունը կոչվում ներդաշնակ.

Ընդհանուր տեղեկություններ մեխանիկական համակարգի

Որ բանաձեւը oscillation ժամանակահատվածի ճոճանակ էր քաղաքավարի հոլանդական գիտնական Հյուգենսից (1629-1695 GG.): Այս ժամանակակից Իսահակ Նյուտոնի շատ էր սիրում մեխանիկական համակարգի: Ի 1656 նա ստեղծեց առաջին ժամացույց է ճոճանակի մեխանիզմ: Նրանք չափել ժամանակը, ինչպես նաեւ ծայրահեղ ճշգրտությամբ այդ ժամանակներից: Սա գյուտը եղել է խոշոր քայլ է զարգացման ֆիզիկական փորձերի եւ գործնական աշխատանքների:

Եթե ճոճանակ է հավասարակշռության դիրքի (կախովի ուղղահայաց), որ ուժը ծանրության կլինի հավասարակշռվի մանվածք լարվածության ուժի. Հարթ ճոճանակ մի ոչ-stretchable yarns մի համակարգ երկու աստիճանների ազատության կապի. Երբ փոխվում է ընդամենը մեկ բաղադրիչն է փոփոխության հատկանիշները իր բոլոր մասերի: Օրինակ, եթե մի թեմա, որը փոխարինվում է գավազանով, ապա այս մեխանիկական համակարգը միայն 1 ազատության աստիճանը: Ինչ է, ապա, հատկությունների մաթեմատիկական ճոճանակ. Այս պարզ համակարգում, ազդեցության տակ է պարբերական հուզմունք, քաոս հայտնվում. Այդ դեպքում, երբ կասեցումը կետը չի շարժվում, եւ տատանվում է ճոճանակի կա մի նոր հավասարակշռությունը պաշտոնը: Եթե արագ տատանումները եւ ներքեւ այս մեխանիկական համակարգի դառնում կայուն դիրքորոշումը »անկարգ ներքեւ." Այն ունի նաեւ իր անունը: Այն կոչվում է Kapitza ճոճանակ.

Հատկությունները ճոճանակ

Ճոճանակ ունի շատ հետաքրքիր հատկություններ. Բոլորն են աջակցում են հայտնի ֆիզիկական օրենքների: Ժամանակահատվածը ճոճում ճոճանակ որեւէ այլ կախված է տարբեր հանգամանքներից, ինչպիսիք են չափի եւ ձեւի մարմնի միջեւ հեռավորությունը կետի կասեցման եւ ծանրության կենտրոնը, քաշը բաշխման հետ կապված այս պահին. Դա է պատճառը, որ սահմանումը Մարմնի կախված ժամանակահատվածում բավականին դժվար է: Շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել ժամկետը պարզ ճոճանակ, բանաձեւը, որը տրված են ստորեւ. Որպես արդյունքում դիտարկելով այդ հրահանգների կարող է սահմանվել նմանատիպ մեխանիկական համակարգերի

• Եթե, իսկ պահպանելով նույն երկարությունը ճոճանակ, կասեցվել է մի շարք բեռների ժամկետը ճոճում ստանալ նույն, թեեւ նրանց քաշը կլինի տարբերվել մեծապես. Հետեւաբար, այդ ժամկետը ճոճանակ չի կախված է այն բեռի.

• Եթե համակարգը սկսում է նվազել ճոճանակ չէ չափազանց մեծ է, բայց տարբեր անկյունները, ապա դա կլինի տատանվել նույն ժամանակահատվածի հետ, սակայն տարբեր amplitudes: Իսկ շեղումներ կենտրոնում հավասարակշռության չէ չափազանց մեծ տատանումները իրենց ձեւով կլինի մոտ բավարար ներդաշնակ. Ժամանակահատվածը նման ճոճանակ կախված չէ, որ vibrational լիություն. Այս սեփականությունը մեխանիկական համակարգի կոչվում isochronism (հունարեն «Chronos», - ժամանակին »Izosov», - հավասար):

Որ ժամկետը պարզ ճոճանակ

Այս ցուցանիշը ներկայացնում է բնական ժամանակաշրջան ճոճում. Չնայած բարդ ձեւակերպման, այդ գործընթացը ինքնին շատ պարզ է. Եթե երկարությունը մանվածք մաթեմատիկական ճոճանակ L, եւ գրավիտացիոն արագացման գ, այս արժեքը հավասար:

T = 2π√L / գ

Փոքր ժամկետը բնական oscillations է ոչ մի կերպ կախված չէ զանգվածի ճոճանակ եւ oscillation լիություն. Այս դեպքում, որպես մաթեմատիկական ճոճանակ տեղաշարժվի կրճատվել երկարությամբ:

Oscillations մի մաթեմատիկական ճոճանակ

Մաթեմատիկական ճոճանակ ճոճվում, որը կարելի է բնութագրել որպես պարզ դիֆերենցիալ հավասարման:

x + ω2 մեղք x = 0,

որտեղ x (t) - անհայտ ֆունկցիան (սա անկյան տակ բեկում է ավելի ցածր պաշտոնի հավասարակշռության խախտման այն ժամանակ t, արտահայտված ռադիաններով); ω - դրական հաստատուն, որը որոշվում է պարամետրերի ճոճանակ (ω = √g / L, որտեղ գ - արագացումը ծանրության, իսկ L - երկարությունը պարզ ճոճանակ (կասեցման):

Հավասարում փոքր oscillations մոտ, հավասարակշռության դիրքի (Բարեկազմ հավասարումը) հետեւյալն են:

x + ω2 մեղք x = 0

Oscillatory միջնորդությունը ճոճանակ

Ճոճանակ, որը կազմում է փոքր oscillations, շարժվում sinusoid. Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համապատասխանում է բոլոր պահանջներին, եւ պարամետրերի նման շարժման. Է որոշելու ուղին դուք պետք է սահմանել արագությունը եւ կոորդինատները, որոնք հետագայում որոշվում է անկախ հաստատունների:

x = մեղք (θ ₀ + ωt),

որտեղ θ ₀ - նախնական փուլ, A - առատություն ճոճում, ω - ցիկլային հաճախականությունը որոշվում է հավասարումների շարժման.

Ճոճանակ (բանաձեւն խոշոր amplitudes)

Այս մեխանիկական համակարգ, կատարել են իրենց oscillations հետ մեծ լայնույթի, այն ենթակա է ավելի բարդ ճանապարհային օրենքների: նրանք հաշվարկվում են հետեւյալ բանաձեւով նման ճոճանակ:

մեղք x / 2 = u * sn (ωt / u),

որտեղ sn - առանց Jacobi, ով u <1-ը պարբերական գործառույթ, եւ փոքր u այն համընկնում է պարզ Եռանկյունաչափական sine: The արժեքը u որոշվում է հետեւյալ արտահայտությամբ:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

որտեղ ε = E / mL2 (mL2 - էներգետիկան ճոճանակ):

Վճռականությունը գծային oscillation ժամանակահատվածի ճոճանակ է հետեւյալ բանաձեւով.

T = 2π / Ω,

որտեղ Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - էլիպսաձեւ անբաժանելի, π - 3,14.

ճոճանակ շարժումը separatrix

Այն կոչվում է separatrix հետագիծ դինամիկ համակարգ, որը երկչափ փուլային տարածության. Ճոճանակ շարժվում է ոչ-պարբերաբար. Ի անսահմանորեն հեռու պահի այն իջել է ծայրահեղ վերին դիրքորոշման զրոյական արագությամբ, ապա այն աստիճանաբար դառնում: Նա, ի վերջո կանգ առավ, վերադառնալով իր նախնական դիրքից.

Եթե առատություն ճոճում ճոճանակ մոտենում է համարը PI, ասվում է, որ միջնորդություն է փուլային ինքնաթիռի մոտ է separatrix: Այս դեպքում, մինչեւ գործողության փոքր պարբերական շարժիչ ուժի մեխանիկական համակարգի ցուցադրում քաոսային վարքագիծը:

Այն դեպքում, պարզ ճոճանակ է հավասարակշռության դիրքորոշման հետ անկյան CP տեղի է ունենում շոշափողական ուժ Fτ = -mg մեղքի φ ծանրության: «Մինուս» նշանը նշանակում է, որ կողմնակի բաղադրիչը ուղղված է հակառակ ուղղությամբ ուղղությամբ շեղումը ճոճանակ. Երբ վկայակոչելով միջոցով ճոճանակի տեղահանումներ x միասին շրջանաձեւ ՇՊՌԿ հետ շառավղով L հավասար է իր անկյունային տարահանումը φ = x / Լ. Երկրորդ օրենքը Isaaka Nyutona, նախատեսված է պրոյեկտման արագացման վեկտորի եւ ուժով տալ ցանկալի արժեքը:

մգ τ = Fτ = -mg մեղք x / L

Հիման վրա: Այս հարաբերակցության, դա պարզ է, որ ճոճանակ է ոչ գծային համակարգ, որպես մի ուժ, որը ձգտում է վերադառնալ իր հավասարակշռության դիրքի, միշտ չէ, որ համամասնական տարահանումը x, մեղքի x / L.

Միայն այն ժամանակ, երբ մաթեմատիկական ճոճանակ կատարում փոքր թրթիռները, որ դա ներդաշնակ oscillator. Այլ կերպ ասած, այն դառնում է մեխանիկական համակարգ վիճակի ներդաշնակ oscillations: Որ այդ մերձեցումը ուժի մեջ է գրեթե անկյունները 15-20 °. Ճոճանակ խոշոր amplitudes չէ ներդաշնակ.

Նյուտոնի օրենք փոքր oscillations մի ճոճանակ

Եթե մեխանիկական համակարգը կատարում փոքր oscillations, 2-րդ Նյուտոնի օրենքն այս տեսքը կունենա:

մգ τ = Fτ = -m * գ / լ * x:

Այս հիման վրա, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ կողմնակի արագացումը պարզ ճոճանակ է համամասնական է իր տեղահանումներ հետ ստորագրում է «մինուս»: Սա մի պայման, որով համակարգը դառնում է ներդաշնակ oscillator: Մոդուլ համաչափության գործոնը միջեւ տեղահանումներ եւ արագացման հավասար հրապարակում է անկյունային հաճախականությամբ:

ω02 = գ / L; ω0 = √ գ / Լ.

Այս բանաձեւը արտացոլում է բնական հաճախականությունը փոքր oscillations է այս տեսակի ճոճանակի: Հիման վրա,

T = 2π / ω0 = 2π√ գ / Լ.

Հաշվարկները հիմնված են օրենքի էներգիայի պահպանման

Հատկություններ oscillating ճոճանակ շարժումները կարելի է նկարագրել օգնությամբ օրենքի էներգիայի պահպանման: Այն պետք է հոգա նաեւ հիշել, որ այդ ներուժը էներգիան ճոճանակ մի gravitational դաշտում:

E = mgΔh = mgL (1 -, cos α) = mgL2sin2 α / 2

Լրիվ մեխանիկական էներգիայի հավասար է կինետիկ եւ առավելագույն ներուժը: Epmax = Ekmsx = E

Հետո դուք գրված օրենքը էներգիայի պահպանման, հաշվի ածանցյալ է ձախ եւ աջ կողմերում հավասարման:

Ep + Ek = const

Քանի որ ածանցյալ է հաստատունների հավասար է 0, ապա (Ep + Ek) '= 0. ածանցյալ գումարի հավասար գումարը ածանցյալների:

Ep '= (մգ / լ * x2 / 2) «= մգ / 2L * 2x * x' = մգ / L * v + Ek '= (mv2 / 2) = մ / 2 (V2)' = մ / 2 * 2V * v '= mv * α,

Ուստի

Մգ / L * XV + MVA = v (մգ / լ * x + մ α) = 0:

Հիման վրա վերջին բանաձեւով, մենք գտնում ենք,: α = - գ / L * x:

Գործնական կիրառումը մաթեմատիկական ճոճանակ

Արագացումը ազատ աշնանը տատանվում լայնության, քանի որ խտությունը ընդերքը ամբողջ մոլորակի, ոչ նույնական. Որտեղ ժայռերի տեղի են ունենում մի բարձր խտության, դա կլինի մի փոքր ավելի բարձր: Արագացումը մաթեմատիկական ճոճանակ հաճախ օգտագործվում է ուսումնասիրության. Իր օգնության տեսքը տարբեր օգտակար հանածոների. Պարզապես հաշվում թվի oscillations մի ճոճանակ, դա հնարավոր է հայտնաբերել ածուխ կամ հանքաքարի ընդերքի է Երկրի վրա. Դա պայմանավորված է նրանով, որ այդ ռեսուրսները ունեն խտությունը եւ քաշը ավելի քան պառկած տակ ազատ ժայռերի.

Մաթեմատիկական ճոճանակ օգտագործվում են այնպիսի ականավոր գիտնականների, ինչպիսիք են Սոկրատեսի, Արիստոտելի, Պլատոնի, Պլուտարքոսի, Արքիմեդի. Նրանցից շատերը հավատում են, որ մեխանիկական համակարգը կարող է ազդել ճակատագիրը եւ կյանքը. Արքիմեդես օգտագործվում է մաթեմատիկական ճոճանակ իր հաշվարկներում: Մեր օրերում, շատ occultists եւ psychics օգտագործել այս մեխանիկական համակարգ իրականացման համար իր մարգարեությունների, կամ Անհայտ կորածների որոնման մարդկանց:

Ֆրանսիացի հայտնի աստղագետ եւ գիտնական, Flammarion իրենց ուսումնասիրությունները նաեւ օգտագործվում է մաթեմատիկական ճոճանակ: Նա պնդում էր, որ իր օգնությամբ նա կարողացել է կանխատեսել հայտնաբերելու նոր մոլորակի, ի հայտ է Tunguska ասուպ, եւ այլ կարեւոր միջոցառումներ: Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի Գերմանիայում (Berlin) աշխատել է որպես մասնագիտացված ինստիտուտի ճոճանակ. Մեր օրերում, նման հետազոտությունները հասանելի չէ Մյունխենի ինստիտուտ Parapsychology: Նրա հետ աշխատանքը ճոճանակ աշխատակազմը այս հաստատությունում, որը կոչվում է «radiesteziey»: