Հավասարությունը ինքնաթիռի `թե ինչպես պետք է կատարել. Տեսակները ինքնաթիռի հավասարումների

Որ ինքնաթիռը տարածքը կարող է սահմանվել է տարբեր ձեւերով (մեկ dot եւ վեկտորի, վեկտորը եւ երկու միավոր, երեք միավոր, եւ այլն): Դա այս մտքում, որ ինքնաթիռը հավասարումը կարող է ունենալ տարբեր տեսակի. Նաեւ որոշակի պայմաններում ինքնաթիռը կարող է լինել զուգահեռ, ուղղահայաց, փոխհատվող, եւ այլն: Այդ մասին կխոսեն այս հոդվածում. Մենք պետք է սովորենք, որպեսզի ընդհանուր հավասարումը հարթության, եւ ոչ միայն:

Որ նորմալ ձեւը հավասարման

Ենթադրենք R այն տարածքն է _3, որն ունի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի XYZ: Մենք սահմանել վեկտորը α, որը պետք է ազատ արձակվի, ելակետ Օ միջոցով ավարտին վեկտորի ալֆա հրավիրել ինքնաթիռ P, որը ուղղահայաց է դրան:

Մատնանշում P է կամայական կետի Q = (x, y, z): Շառավղով վեկտորը կետային Q նշանը նամակով p. Երկարությունը վեկտորի հավասար ալֆա p = IαI եւ Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Այս միավորը վեկտորը, որը ուղղված է այդ ուղղությամբ, որպես վեկտոր ալֆա: α, β եւ γ են անկյունները, որոնք ձեւավորվում են միջեւ վեկտորի եւ դրական ուղղություններով Ʋ տիեզերական առանցքներ եւ x, y, z համապատասխանաբար: The նախագծումը մի կետի վրա վեկտորը QεP Ʋ է հաստատուն, որը հավասար է p (p, Ʋ) = p (r≥0):

Վերը նշված հավասարումը իմաստալից, երբ p = 0: Միակ n ինքնաթիռը այս դեպքում, պետք է անցնել շեղվող O (α = 0), որը հանդիսանում է ծագման, եւ միավոր վեկտոր Ʋ, ազատ է արձակվել կետի O կլինի ուղղահայաց P, թեեւ նրա ուղղությունը, որը նշանակում է, որ վեկտորը Ʋ որոշվում մինչեւ նշանի. Նախորդ հավասարումը մեր ինքնաթիռը P, արտահայտվում է վեկտորի տեսքով: Սակայն հաշվի առնելով իր կոորդինատները է:

P ավելի մեծ է, քան կամ հավասար է 0-Մենք գտանք ինքնաթիռի հավասարումը նորմալ ձեւով.

Ընդհանուր առմամբ հավասարումը

Եթե հավասարումը կոորդինատները բազմապատկել ցանկացած թվի, որը հավասար չէ զրոյի, մենք ձեռք ենք բերում նաեւ հավասարության համարժեք սա, որը սահմանում է շատ ինքնաթիռը: Այն կունենա հետեւյալ ձեւը:

Այստեղ, Ա, Բ, Գ, - թիվն միաժամանակ տարբերվում զրոյից. Այս հավասարումը կոչվում է հավասարումը ընդհանուր ձեւով հարթությունում.

Հավասարումները ինքնաթիռները: Հատուկ դեպքեր

Հավասարությունը ընդհանուր առմամբ կարող փոփոխվել լրացուցիչ պայմաններին: Դրանցից մի քանիսը:

Ենթադրել, որ գործակիցը A - 0 Սա ցույց է տալիս, որ ինքնաթիռը զուգահեռ կանխորոշված առանցքի ցուլ. Այս դեպքում է, որ ձեւը հավասարման փոխում: Wu + Cz + D = 0:

Նմանապես, ձեւը հավասարման եւ կարող են տարբեր լինել հետեւյալ պայմաններով:

• Նախ, եթե B = 0, ապա հավասարման փոփոխությունները Կացինը + Cz + D = 0, ինչը վկայում են զուգահեռ է առանցքի Oy:
• Երկրորդ, եթե C = 0, ապա հավասարումը այն վերափոխվում Կացինը + By + D = 0, այսինքն այն մասին, որը զուգահեռ է կանխորոշված առանցքի Oz.
• Երրորդ, եթե D = 0, ապա հավասարումը կհայտնվի նաեւ Ax + By + CZ = 0, որը նշանակում է, որ ինքնաթիռը հատում է O (ծագման):
• Չորրորդ, եթե Ա = B = 0, ապա հավասարման փոփոխությունները Cz + D = 0, որն ապացուցել է parallelism oxy.
• Հինգերորդ, եթե B = C = 0, ապա հավասարումը դառնում Կացինը + D = 0, ինչը նշանակում է, որ ինքնաթիռը զուգահեռ Oyz.
• Վեցերորդ, եթե Ա = C = 0, ապա հավասարումը տեւում ձեւը Wu + D = 0, այսինքն, հաշվետու կլինի parallelism Oxz:

Ձեւը հավասարման մեջ հատվածների

Այն դեպքում, երբ համարները A, B, C, D տարբերվում զրոյից, ձեւը հավասարման (0) կարող է լինել հետեւյալը.

x / ա + y / բ + z / C = 1,

պատվող = -D / A, բ = -D / B, C = -D / C.

Մենք ստանում ենք, որպես արդյունք հավասարման վրա ինքնաթիռի կտոր. Հարկ է նշել, որ այս ինքնաթիռը կհատվեն x առանցքի ին կետում, ինչպես կոորդինատների (ա, 0,0), ՕԵԿ - (0, B, 0), եւ ունց (0,0, ներ).

Հաշվի առնելով հավասարումը x / ա + Y / բ + z / գ = 1, ապա դա ոչ թե դժվար է պատկերացնել, որ տեղաբաշխումը ինքնաթիռի հարաբերական է կանխորոշված համակարգելու համակարգի.

Կոորդինատները է նորմալ վեկտորի

Որ նորմալ վեկտորը n է ինքնաթիռի P ունի համակարգում, որոնք գործակիցների ընդհանուր հավասարման ինքնաթիռի, այսինքն n (A, B, C):

Որոշելու համար, համակարգում են նորմալ n, դա բավարար է իմանալ, թե ընդհանուր հավասարումը տրված ինքնաթիռը:

Երբ, օգտագործելով հավասարումը սեգմենտներում, որն ունի այդ ձեւը x / ա + Y / բ + z / գ = 1, քանի որ, երբ, օգտագործելով ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել կոորդինատները ցանկացած նորմալ վեկտորի տրված ինքնաթիռը: (1 / ա + 1 / բ + 1 / գ):

Հարկ է նշել, որ նորմալ վեկտորը օգնելով լուծել տարբեր խնդիրներ: Ամենատարածված խնդիրներ են բաղկացած է ապացուցման ուղղահայաց կամ զուգահեռ ինքնաթիռների, գտնելու խնդիրը անկյունները միջեւ ինքնաթիռների կամ անկյուններից միջեւ ինքնաթիռների եւ ուղիղ գծեր.

Մուտքագրեք ըստ ինքնաթիռի հավասարման եւ կոորդինատները է կետի նորմալ վեկտորի

Ոչ զրոյական վեկտորի n, որը ուղղահայաց է տվյալ հարթություն, որը կոչվում է նորմալ (նորմալ) մի կանխորոշված հարթություն:

Ենթադրենք, որ համակարգելու տարածության (ա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով) oxyZ սահմանել:

• Mₒ կետը կոորդինատների (hₒ, uₒ, zₒ);
• զրոյական վեկտորի n = Ա * i + B * j + C * k.

Դուք պետք է կատարել հավասարումը, որ ինքնաթիռը անցնում Mₒ կետի ուղղահայաց բնականոն n:

Այդ տարածության մենք ընտրում ենք ցանկացած կամայական կետ եւ մատնանշում M (x, y, z): Թող շառավիղը վեկտորը յուրաքանչյուր կետի M (x, y, z) կլինի r = x * i + y * j + z + k, իսկ շառավիղը վեկտորը մի կետի Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Բանն այն M- ը պատկանում է տվյալ հարթություն, եթե վեկտորը MₒM լինի ուղղահայաց է վեկտոր n: Մենք գրել վիճակը orthogonality օգտագործելով scalar արտադրանքը:

[MₒM, n] = 0:

Քանի որ MₒM = r-rₒ, վեկտորը հավասարումը ինքնաթիռի կանդրադառնա հավանում են սա:

[R - rₒ, n] = 0:

Այս հավասարումը կարող է նաեւ ունենալ մեկ այլ ձեւավորել. Այդ նպատակի համար, հատկությունների, ինչպես նաեւ scalar արտադրանքի, եւ դարձի ձախ կողմում հավասարման. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]: Եթե [rₒ, n] բնորոշվել որպես վ, մենք ձեռք ենք բերում հետեւյալ հավասարումը: [r, n] - ը = 0 կամ [R, n] = S, որն արտահայտում է հաստատունություն կանխատեսումների վրա նորմալ վեկտորի շառավղի-վեկտորների տվյալ նը, որ պատկանում ինքնաթիռ:

Այժմ դուք կարող եք ստանալ համակարգել տեսակը ձայնագրությունը ինքնաթիռը մեր վեկտորը հավասարման [r - rₒ, n] = 0. Քանի որ r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, եւ n = A * i + b * j + C * k, մենք ունենք:

Ստացվում է, որ մենք ունենք այդ հավասարումը, որը ձեւավորվում ինքնաթիռը անցնող կետի ուղղահայաց բնականոն n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0:

Մուտքագրեք ըստ ինքնաթիռի հավասարման եւ կոորդինատների երկու կետերի վեկտորը ինքնաթիռի collinear

Մենք սահմանել երկու կամայական կետերում M '(X », y', z ') եւ M" (X ", y», Z "), ինչպես նաեւ վեկտորը (մի', A» ‴):

Այժմ մենք կարող ենք գրել հավասարումը կանխորոշված ինքնաթիռը, որն անցնում է գոյություն ունեցող կետի M »եւ M", եւ յուրաքանչյուր կետ կոորդինատների հետ M (x, y, z) զուգահեռ տվյալ վեկտորի.

Այսպիսով, M'M վեկտորները x = {x ', y-y'; zz '} եւ Մ »M = {x» -x', y 'y'; z «-Z '} պետք է coplanar հետ վեկտորի ա = (ա ', ա »ա ‴), որը նշանակում է, որ (M'M Մ» M, ա) = 0:

Այնպես որ, մեր հավասարումը մի հարթության մեջ տարածության կանդրադառնա հավանում են սա:

Տեսակը ինքնաթիռի հավասարման, անցնելով երեք միավոր

Եկեք ասում են, որ մենք ունենք երեք միավոր (x ', Y', Z -), (x ', y', z '), (x ‴ Ունենալ ‴, z ‴), որոնք չեն պատկանում են նույն գծի. Անհրաժեշտ է գրել հավասարումը ինքնաթիռի անցնող երեք կետերից: երկրաչափություն տեսությունը պնդում է, որ այս տեսակ ինքնաթիռի գոյություն չունի, դա ընդամենը մեկ եւ միայն: Քանի որ այս ինքնաթիռը հատում շեղվող (x ', y », z'), նրա հավասարումը ձեւը կլինի:

Այստեղ, A, B եւ C տարբերվում են զրոյի, միեւնույն ժամանակ. Նաեւ հաշվի առնելով ինքնաթիռը հատում է երկու միավոր (x ", y», z ») եւ (x ‴, y ‴, z ‴): Այս կապակցությամբ պետք է իրականացվի այս տեսակ պայմանների:

Այժմ մենք կարող ենք ստեղծել մի միասնական համակարգ հավասարումների (գծային) անծանոթների հետ u, v, w:

Մեր դեպքում x, y կամ z կանգնած կամայական կետ, որը կբավարարի (1) հավասարման. Հաշվի առնելով, հավասարումը (1) եւ հավասարումների համակարգի (2) եւ (3) համակարգի հավասարումների նշված գործիչ է վերեւում, վեկտորը բավարարվում N (A, B, C), որը nontrivial. Այն պատճառով, որ որոշիչ է համակարգի զրոյական:

Հավասարում (1), որը մենք ստացել, սա է հավասարումը հարթությունում. 3 կետ նա, իրոք, գնում, եւ դա հեշտ է ստուգել: Որպեսզի դա անել, մենք ընդլայնել որոշիչը կողմից տարրերի առաջին շարքում: Գոյություն ունեցող հատկությունները վճռորոշ հետեւում է, որ մեր ինքնաթիռը միաժամանակ հատում է երեք սկզբանե նախանշված շեղվող (x ', y', z '), (x », y», z "), (x ‴, y ‴, z ‴): Այնպես որ, մենք որոշեցինք խնդրի առջեւ մեզ.

Dihedral անկյունը միջեւ ինքնաթիռների

Dihedral անկյունը տարածական երկրաչափական ձեւը ձեւավորվել է երկու կես ինքնաթիռների, որ բխում են մի ուղիղ գիծ. Այլ կերպ ասած, մի մասը տարածության, որը սահմանափակվում է կես ինքնաթիռներ.

Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու ինքնաթիռ են հետեւյալ հավասարումներով.

Մենք գիտենք, որ այդ վեկտորը N = (A, B, C) եւ N¹ = (A¹, H¹, S¹) ըստ նախանշված ինքնաթիռների են ուղղահայաց: Այս առումով, անկյունը φ միջեւ վեկտորները թիվ N¹ հավասար անկյունը (dihedral), որը գտնվում միջեւ ինքնաթիռներ. Որ Scalar արտադրանքը տրվում է:

NN¹ = | N || N¹ | ՎԿ φ,

հենց այն պատճառով,

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)):

Դա բավական է դիտարկել այդ 0≤φ≤π:

Ըստ էության, երկու ինքնաթիռները, որոնք հատվում են, ձեւավորել երկու անկյունը (dihedral) φ ₁ եւ φ _2: Նրանց գումարը հավասար է π (φ ₁ + φ = ₂ π): Ինչ վերաբերում է իրենց cosines, նրանց բացարձակ արժեքները հավասար են, բայց նրանք տարբեր նշաններ, այսինքն,, cos φ ₁ = -cos φ _2: Եթե հավասարման (0) փոխարինվում է A, B եւ C մասին -A, -B եւ -C համապատասխանաբար, հետեւյալ հավասարման, մենք ձեռք, կորոշի, թե նույն հարթության մեջ, միակ տեսանկյունից φ հավասարման cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Այն կփոխարինվի π-φ:

Հավասարման ուղղահայաց հարթությունում

Կոչվում ուղղահայաց հարթություն, որոնց միջեւ անկյունը 90 աստիճան: Օգտագործելով նյութը ներկայացված է վերեւում, մենք կարող ենք գտնել հավասարումը մի ուղղահայաց հարթության դեպի մյուսը. Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու ինքնաթիռ: AX + Ըստ + Cz + D = 0, եւ + A¹h V¹u S¹z + + D = 0: Մենք կարող ենք ասել, որ դրանք օրթոգոնալ եթե Cos = 0: Սա նշանակում է, որ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0:

Հավասարման զուգահեռ հարթության

Այն կոչվում է երկու զուգահեռ հարթությունների որը պարունակում միավոր ընդհանրություններ:

Որ վիճակը զուգահեռ ինքնաթիռների (նրանց հավասարումները նույնն են, քանի որ նախորդ կետում), այն է, որ վեկտորները N եւ N¹, որոնք ուղղահայաց նրանց, collinear: Սա նշանակում է, որ առկա են հետեւյալ պայմանները բավարարված են համաչափությունը:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹:

Եթե համամասնական պայմանները ընդլայնվել - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

սա նշանակում է, որ տվյալների հարթության նույնը. Սա նշանակում է, որ հավասարումը Կացինը + էր + Cz + D = 0 եւ + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 նկարագրել մեկ ինքնաթիռ:

Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռի

Ենթադրենք, որ մենք ունենք մի ինքնաթիռի P, որը տրվում է (0). Անհրաժեշտ է գտնել հեռավորությունը կետի հետ կոորդինացնում (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ: , Դուք պետք է բերել հավասարումը է ինքնաթիռը II նորմալ տեսքը դարձնել այն:

(Ρ, v) = P (r≥0):

Այս դեպքում, ρ (x, y, z) հանդիսանում է շառավիղը վեկտորը մեր կետի Q, որը գտնվում է n p - n երկարությունը այն ուղղահայաց, որը ազատ է արձակվել է զրոյական կետում, v - ն միավորը վեկտորը, որը կազմակերպվում է այդ ուղղությամբ մի.

Տարբերությունն այն ρ-ρº շառավիղը վեկտորը մի կետի Q = (x, y, z), որը պատկանում է P իսկ շառավիղը վեկտորը տվյալ կետի Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) է վեկտորը, բացարձակ արժեքը պրոյեկտման որի վրա v հավասար հեռավորության d, որն անհրաժեշտ է գտնել ից Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) է P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, բայց

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v):

Այնպես որ, պարզվում է,

D = | (ρ ^0, v) P |.

Այժմ պարզ է, որ պետք է հաշվարկել հեռահար d _0-ից Q ինքնաթիռի P, դա անհրաժեշտ է օգտագործել նորմալ տեսք ինքնաթիռ հավասարումը, հերթափոխի դեպի ձախ p, իսկ վերջին տեղը x, y, z փոխարինող (hₒ, uₒ, zₒ):

Այսպիսով, մենք գտնում ենք, բացարձակ արժեքը արդյունքում արտահայտվելու է պահանջվում d.

Օգտագործելով պարամետրերը լեզվի, մենք ստանում ենք, որ ակնհայտ է:

D = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²):

Եթե նշված կետն Q ₀ գտնվում է մյուս կողմում ինքնաթիռի P որպես ծագման, ապա միջեւ վեկտորի ρ-ρ ⁰ V է մի անհասկացող անկյունը, դրանով:

D = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0:

Այն դեպքում, երբ խոսքը Q _0-ի հետ համատեղ ծագման գտնվում է նույն կողմում U, սուր անկյունը է ստեղծվում, որ պետք է գրանցվեք:

D = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0:

Արդյունքն ակնառու է, որ առաջին դեպքում (ρ ^0, v)> p, երկրորդ (ρ ^0, v)

Եւ նրա շոշափող ինքնաթիռը հավասարումը

Ինչ վերաբերում է ինքնաթիռ է մակերեսի պահին շոշափման Mº մի ինքնաթիռ, որը պարունակում է բոլոր հնարավոր շոշափում է կորի կազմված միջոցով այդ կետի վրա մակերեսին.

Այս մակերեսային ձեւով հավասարման F (x, y, z) = 0 հավասարման է շոշափում ինքնաթիռը շոշափող կետի Mº (hº, uº, zº) կլինի:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0:

Եթե մակերեւույթը սահմանված բացահայտորեն z = F (x, y), ապա շոշափող ինքնաթիռը նկարագրվում է հետեւյալ հավասարման մեջ.

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº):

Խաչմերուկում երկու ինքնաթիռների

Ի եռաչափ տարածության մի կոորդինատային համակարգին (ուղղանկյուն) oxyZ, հաշվի առնելով երկու ինքնաթիռների P »եւ P», որ համընկնումը եւ չեն համընկնում: Քանի որ ցանկացած հարթությունում, որը գտնվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կողմից սահմանված ընդհանուր հավասարման, մենք ենթադրում ենք, որ n 'եւ n «սահմանվում են հետեւյալ հավասարումներով A'x + V'u S'z + + D' = 0 եւ Ա» + B x + y "z + D» = 0: Այս դեպքում մենք ունենք նորմալ n '(Ա', B ', C ») է ինքնաթիռի P» եւ նորմալ n "(A», B », - C») ինքնաթիռի P'. Քանի որ մեր ինքնաթիռը չեն զուգահեռ եւ չեն համընկնում, ապա այդ վեկտորները չեն collinear: Օգտագործելով լեզուն մաթեմատիկայի, մենք ունենք այս վիճակը կարող է գրել, ինչպես նաեւ: n '≠ n "↔ (A', Բ», Գ ») ≠ (λ * Եվ", λ * է ", λ * C»), λεR: Թող ուղիղ գիծ է, որը ընկած է հատման P »եւ P», կարող է մատնանշում է նամակում մի, այս դեպքում = P »∩ P».

եւ մի գիծ, որը բաղկացած է մի բազմակարծության նը (ընդհանուր) ինքնաթիռները P »եւ P»: Սա նշանակում է, որ կոորդինատները ցանկացած կետի պատկանող գծի մի, պետք է միաժամանակ բավարարել նաեւ հավասարության A'x + V'u S'z + + D '= 0 եւ "x + B' + C y" z + D "= 0: Սա նշանակում է, որ կոորդինատներն կետը կլինի, մասնավորապես, լուծում է հետեւյալ հավասարումների.

Արդյունքն այն է, որ լուծումը (ընդհանուր) այս համակարգի հավասարումների կորոշեն կոորդինատները յուրաքանչյուրի միավոր գծի, որը կգործի որպես կետ հատման P »եւ P», եւ որոշել, թե մի գիծ է կոորդինատային համակարգում oxyZ (ուղղանկյուն) տիեզերական: