Գումարը անկյուններից եռանկյունու. Թեորեմը գումարի վրա անկյունների եռանկյան

Եռանկյունի է Պոլիգոն ունեցող երեք կողմերը (երեք անկյունները): Առավել հաճախ, այն մասը, մատնանշում է փոքր տառերով համապատասխան գլխատառերը, որը ներկայացնում հակառակ vertices: Այս հոդվածում մենք take a look այդ տեսակի երկրաչափական ձեւավորում, թեորեմի, որով սահմանվում է, թե ինչ է հավասար գումարի անկյունների եռանկյունու.

Տեսակները խոշորագույն անկյունները

Հետեւյալ տեսակները Պոլիգոն երեք vertices:

• սուր ուղղանկյուն, որը բոլոր անկյունները սուր.
• ուղղանկյուն ունենալով մեկ աջ անկյունը, ապա կողմը կազմող այն, անդրադարձել է ոտքերի, եւ այն կողմը, որ տրամադրված հակառակ է ճիշտ անկյան տակ կոչվում է hypotenuse.
• բութ երբ մեկը անկյունը անհասկացող ,
• isosceles, որոնց երկու կողմերն հավասար են, եւ նրանք կոչվում են կողային, իսկ երրորդը, մի եռանկյունի է բազայի;
• հավասարակողմ ունենալով երեք հավասար կողմերը:

հատկությունները

Հատկացնել հիմնական հատկությունները, որոնք բնորոշ յուրաքանչյուր տեսակի եռանկյան:

• հակառակ մեծագույն կողմը միշտ ավելի մեծ է անկյունը, եւ հակառակը.
• են հավասար անկյունները հակառակ հավասար խոշորագույն կուսակցության, եւ հակառակը.
• ցանկացած եռանկյունու ունի երկու սուր անկյունները:
• արտաքին անկյան տակ ավելի, քան ցանկացած ներքին անկյան տակ չեն կից դրանում.
• գումարը ցանկացած երկու անկյունները միշտ ավելի քիչ է, քան 180 աստիճանով.
• էքստերիեր անկյունը հավասար է գումարը մյուս երկու անկյուններում, որոնք չեն mezhuyut նրա հետ:

Թեորեմը գումարի վրա անկյունների եռանկյան

Թեորեմը նշում է, որ եթե դուք ավելացնել մինչեւ բոլոր անկյուններում երկրաչափական վիճակում, որը գտնվում է Էվկլիդյանի հարթություն, ապա դրանց գումարը կլինի 180 աստիճանով: Եկեք փորձում է ապացուցել, այդ թեորեմը:

Թող որ մենք ունենք կամայական եռանկյունի հետ vertices kmn: Ողջ վերին M կանցկացնի անմիջական զուգահեռ գծի KN (նույնիսկ այս գիծը կոչվում EUCLID): Հարկ է նշել, A կետից, որպեսզի կետերը K եւ A կազմակերպվում են տարբեր կողմերում գծի MN: Մենք ստանում նույն տեսանկյունից ԱԲԲ-ի եւ MUF, որը, ինչպես ներքին, սուտ խաչաձեւ ձեւավորել փոխհատվող MN հետ համատեղ անմիջական CN եւ MA, որոնք զուգահեռ: Այս այն հետեւում է, որ գումարը անկյուններից եռանկյունու, որը գտնվում է գագաթներին M եւ N հավասար է չափի CMA տեսանկյունից: Բոլոր երեք անկյունները, բաղկացած է մի գումարի հավասար գումարի անկյուններից kma եւ MCS: Քանի որ այդ տվյալները ներքին անկյուններից հարաբերական միակողմանի զուգահեռ գծերը CL եւ CM MA ժամը փոխհատվող, դրանց գումարը 180 աստիճանով: Դա խոսում է թեորեմը:

արդյունք

Վերը նշված վերը նշված թեորեմի ենթադրում է հետեւյալ corollary: ամէն եռանկյունի ունի երկու սուր անկյունները: Է ապացուցել դա, եկեք ենթադրենք, որ այս երկրաչափական գործիչը ունի միայն մեկ սուր անկյան տակ: Դուք կարող եք նաեւ ենթադրել, որ ոչ մեկը անկյուններում չեն սուր. Այս դեպքում այն պետք է լինի առնվազն երկու անկյունները, այդ պատասխանատվության չափը, ինչը հավասար է կամ գերազանցում է 90 աստիճանով: Բայց ապա գումարը անկյուններից ավելի մեծ է, քան 180 աստիճանով: Բայց սա չի կարող լինել, քանի որ, ըստ թեորեմը գումարի անկյունների եռանկյան հավասար է 180 ° - ոչ ավելի, ոչ պակաս: Դա այն է, թե ինչ պետք էր ապացուցել:

Property դուրս անկյունները

Թե ինչ է գումարը անկյուններից եռանկյունու, որոնք արտաքին. The պատասխանն այս հարցին կարող է ձեռք բերել կիրառելով մեկը երկու ձեւերով. Առաջինն այն է, որ դուք պետք է գտնել անկյունների գումարը, որոնք վերցված մեկը յուրաքանչյուր vertex, այսինքն, երեք անկյունները: Երկրորդը ենթադրում է, որ դուք պետք է գտնել գումարը վեց անկյուններից է vertices: Է զբաղվել սկզբին առաջին մարմնավորման: Այսպիսով, եռանկյունի պարունակում է վեց արտաքին անկյունները - վերեւում յուրաքանչյուր երկու. Յուրաքանչյուր զույգ ունի հավասար անկյունները միջեւ իրենց, քանի որ նրանք ուղղահայաց:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6:

Ի լրումն, հայտնի է, որ արտաքին անկյունը մի եռանկյունու հավասար է գումարը երկու ինտերիերի, որոնք չեն mezhuyutsya նրա հետ: հետեւաբար,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S:

Այս այն հայտնվում է, որ գումարը արտաքին անկյունները, որոնք վերցված մեկ առ մեկ մոտ յուրաքանչյուր vertex հավասար կլինի:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +):

Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ գումարը անկյուններից հավասար 180 աստիճանով, կարելի է պնդել, որ ∟A + ∟V ∟S = + 180 °: Սա նշանակում է, որ ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °: Եթե երկրորդ տարբերակն է օգտագործվում, ապա գումարը վեց անկյուններից կլինի համապատասխանաբար ավելի մեծ է երկու անգամ: Այսինքն, գումարի անկյուններից եռանկյունու դուրս կլինի:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °:

ճիշտ եռանկյունի

Թե ինչ է հավասար գումարի անկյունների աջ եռանկյունու, կղզու. Պատասխանը, կրկին, թեորեմ, որը նշվում է, որ անկյունները մի եռանկյունու ավելացնել մինչեւ 180 աստիճանով: Ձայնային մեր պնդումը (գույքը) հետեւյալն է աջ եռանկյունու սուր անկյունները ավելացնել մինչեւ 90 աստիճան: Մենք ապացուցել է իր իսկությունը: Եղիցի տրվում եռանկյունի kmn, որը ∟N = 90 °: Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ ∟K ∟M = + 90 °:

Այսպես, ըստ ՀՀ թեորեմի վրա գումարի անկյուններից ∟K + ∟M ∟N + = 180 °: Այս վիճակում, այն է, որ ∟N = 90 °: Պարզվում է, ∟K ∟M + 90 ° = 180 °: Դա այն է, ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °: Դա այն է, ինչ մենք պէտք է ապացուցել:

Ի լրումն վերը նշված հատկությունների աջ եռանկյունու, դուք կարող եք ավելացնել դրանք:

• անկյունները, որոնք ստում դեմ ոտքերը սուր.
• որ hypotenuse է եռանկյունաձեւ ավելի քան որեւէ ոտքերի.
• գումարը ոտքերի ավելի քան hypotenuse.
• ոտքը եռանկյան, որն ընկած հակառակ տեսանկյունից 30 աստիճանների, կեսը hypotenuse, որ հավասար է իր կեսին.

Քանի որ այլ գույքի երկրաչափական վիճակում կարելի է առանձնացնել Pythagorean թեորեմ: Նա պնդում է, որ մի եռանկյունու հետ տեսանկյունից 90 աստիճանների (ուղղանկյուն), գումարը հրապարակներից ոտքերի հավասար հրապարակում է hypotenuse:

Գումարը անկյուններից հավասարասրուն եռանկյան

Ավելի վաղ մենք հայտնել է, որ հավասարասրուն եռանկյան մի Պոլիգոն երեք գագաթների, որը պարունակում է երկու հավասար կողմերը: Այս գույքը, որը հայտնի է երկրաչափական գործիչ: անկյունները իր հիմքում հավասար: Եկեք ապացուցենք, սա:

Վերցրեք եռանկյունին kmn, որը գտնվում է isosceles, SC - իր բազան. Մենք պարտավոր ենք ապացուցել, որ ∟K = ∟N: Այնպես որ, եկեք ենթադրենք, որ մագիստրոսի - kmn է կիսորդը մեր եռանկյունու. ICA եռանկյունի է առաջին նշան հավասարության եռանկյունի MNA. Մասնավորապես, ըստ վարկածի հաշվի առնելով, որ CM = NM, MA է ընդհանուր կողմ, ∟1 = ∟2, քանի որ MA - այս կիսորդը. Օգտագործելով հավասարությունը երկու վախճանը, կարելի է պնդել, որ ∟K = ∟N: Հետեւաբար, թեորեմը չի ապացուցվել:

Բայց մենք շահագրգռված ենք, թե ինչ է գումարը անկյուններից եռանկյունու (isosceles): Քանի որ այս առումով չունի իր հատկանիշները, մենք կսկսենք է թեորեմի քննարկվել նախկինում: Այսինքն, կարելի է ասել, որ ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, կամ 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (քանի որ ∟K = ∟N): Սա չի ապացուցել, գույքը, քանի որ թեորեմը գումարի վրա անկյուններից եռանկյունու էր ապացուցել է ավելի վաղ:

Բացառությամբ համարվում հատկությունների անկյուններում մի եռանկյունու, կան նաեւ այնպիսի կարեւոր հայտարարություններ:

• ի հավասարակողմ եռանկյան բարձրությամբ, որն արդեն իջեցվել է բազայի, միաժամանակ միջին կիսորդը անկյան, որը միջեւ հավասար կողմերի եւ առանցքով սիմետրիա իր ռազմակայանը.
• միջնագիծ (կիսորդը, բարձրությունը), որոնք անցկացվում են կողմերի երկրաչափական գործիչ, հավասար են:

հավասարակողմ եռանկյունի

Այն կոչվում է նաեւ ճիշտ է, եռանկյունի, որը հավասար են բոլոր կողմերի համար: Եւ, հետեւաբար, նաեւ հավասար ու անկյունները: Նրանցից յուրաքանչյուրը 60 աստիճանով: Եկեք ապացուցենք, այդ սեփականությունը:

Եկեք ենթադրենք, որ մենք ունենք մի եռանկյունի kmn: Մենք գիտենք, որ կմ HM = KH: Սա նշանակում է, որ, ըստ գույքի անկյուններից գտնվող բազայի հավասարակողմ եռանկյան ∟K = ∟M = ∟N: Քանի որ, ըստ գումարի անկյունների եռանկյան թեորեմի ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ապա x 3 = 180 ° ∟K կամ ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °: Այսպիսով, պնդումը չի ապացուցվել: Ինչպես երեւում է վերը նշված փաստերի հիման վրա վերը նշված թեորեմի, գումարը անկյուններից է հավասարակողմ եռանկյունու, քանի որ գումարի անկյուններից ցանկացած այլ եռանկյան 180 աստիճանով: Եւս ապացուցելով, այս թեորեմը անհրաժեշտ չէ.

Դեռեւս կան որոշ հատկություններ, որոնք բնորոշ են հավասարակողմ եռանկյան:

• միջնագիծ կիսորդը բարձրությունը մի երկրաչափական գործիչ նույնական, եւ նրանց երկարությունը հաշվարկվում է (մի x √3): 2.
• եթե դա Պոլիգոն սահմանափակի այդ շրջանակը, ապա շառավիղը պետք է լինի հավասար է (մի x √3): 3.
• եթե գրված է տառից հավասարակողմ եռանկյան, դրա շառավիղը կլինի (ա x √3): 6;
• տարածքը երկրաչափական գործիչ, որը հաշվարկվում է հետեւյալ բանաձեւով `(A2 x √3): 4.

անհասկացող եռանկյունի

Ըստ սահմանման, որը բութ ուղղանկյուն եռանկյունի, մեկը իր անկյուններում միջեւ 90 - ից 180 աստիճանով: Բայց, հաշվի առնելով այն փաստը, որ մյուս երկու անկյունները երկրաչափական վիճակում կտրուկ, կարելի է եզրակացնել, որ նրանք չեն գերազանցում 90 աստիճանով: Հետեւաբար, գումարը անկյունների եռանկյան թեորեմի աշխատում հաշվարկելիս անկյունների գումարը է անհասկացող եռանկյունու. Այնպես որ, մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ հիմնված է վերը նշված թեորեմի, որ գումարը բութ անկյուններից եռանկյունու 180 աստիճանով: Կրկին, սա թեորեմ չի անհրաժեշտ է կրկին ապացույց.