Fourier փոխակերպում. Արագ Fourier փոխակերպում. Դիսկրետ Fourier փոխակերպում

Ֆուրիեի վերափոխումը - վերափոխումը, ընկերակցելով մի որոշակի գործառույթ է իսկական փոփոխականի: Այս գործողությունը կատարվում է ամեն անգամ, երբ մենք ընկալում տարբեր հնչյուններ: Ականջի արտադրում Automatic "հաշվարկ", որոնք կատարում են մեր գիտակցությունը կարող է միայն այն բանից հետո, քննության բաժնում բարձրագույն մաթեմատիկայի. լսողական օրգանի մի մարդու վերափոխման կառուցում, որի ձայնային (պայմանական տատանողական շարժումը մասնիկների առաձգական միջին, որը քարոզում է ալիքի տեսքով է պինդ, հեղուկ կամ գազային կրիչի), որը տրամադրվում է մի շարք հաջորդական արժեքների ծավալը մակարդակով տոննա տարբեր բարձունքների: Դրանից հետո, ուղեղի դառնում է տեղեկատվության մեջ բոլոր ծանոթ ձայնը.

Մաթեմատիկական Fourier փոխակերպում

Փոխակերպման ձայնային ալիքների կամ այլ թրթռում գործընթացների (թեթեւ էմիսիայի եւ օվկիանոսի ալիքը, եւ աստղային կամ արեւային փուլերի ընթացքում), կարող է իրականացվել, եւ միջոցով մաթեմատիկական մեթոդների. Այսպիսով, օգտագործելով այդ տեխնիկան, գործառույթները կարող են ընդլայնվել ներմուծելով տատանողական գործընթացների սահմանված Sinusoidal բաղադրիչների, այսինքն ալեծածան կորեր, որոնք գնում են նվազագույնի է առավելագույնը, իսկ հետո նորից է նվազագույնի, նման ծովի ալիքի: Ֆուրիեի վերափոխումը - վերափոխումը ֆունկցիան, որը նկարագրում է փուլ կամ լիություն յուրաքանչյուր sinusoid համապատասխանում է որոշակի հաճախականությամբ: Փուլը մեկնակետն է կորի եւ առատություն, - իր բարձրության.

Fourier փոխակերպում (օրինակները ցույց են լուսանկարում), շատ հզոր գործիք է, որն օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում գիտության. Որոշ դեպքերում, այն օգտագործվում է որպես լուծման, այլ ոչ բարդ հավասարումների որոնք նկարագրում են դինամիկ գործընթացները տեղի ունեցող ազդեցության տակ թեթեւ, ջերմության կամ էլեկտրական էներգիայի: Այլ դեպքերում, այն թույլ է տալիս Ձեզ սահմանել կանոնավոր բաղադրիչները բարդ waveforms, շնորհիվ սա կարող է ճիշտ մեկնաբանելու տարբեր փորձարարական դիտարկումներ քիմիայի, բժշկության եւ աստղագիտության:

պատմական տեղեկություններ

Առաջին մարդն է կիրառել այս մեթոդը էր ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Բատիստ Fure: Փոխարկում, հետագայում նրա անունով, ի սկզբանե օգտագործվում է նկարագրելու ջերմային անցկացման մեխանիզմը: Ֆուրիեի իր ողջ չափահաս կյանքը զբաղվում ուսումնասիրելու հատկությունների ջերմության. Նա հսկայական ներդրում է մաթեմատիկական տեսության որոշման արմատներին հանրահաշվական հավասարումների. Ֆուրիեի էր պրոֆեսոր վերլուծության է Ecole POLYTECHNIQUE քարտուղար ինստիտուտի ԵԳԻՊՏԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆԸ էր կայսերական ծառայությունը, որը մեծ աղմուկ պահին ճանապարհի կառուցման Թուրին (նրա ղեկավարության ներքո էր drained ավելի քան 80 հազար քառակուսի կիլոմետր մալարիայից swamps): Սակայն, այս ամենը ակտիվիզմը չի դադարում գիտնական զբաղվում է մաթեմատիկական վերլուծության. 1802, այն էր ստացվում է հավասարումը, որը նկարագրում է տարածման ջերմության չոր. 1807, գիտնական հայտնաբերել է մի մեթոդ լուծման այս հավասարումը, որը հայտնի դարձավ որպես «Fourier փոխակերպում»:

ջերմային ջերմահաղորդություն վերլուծություն

Հետազոտողները օգտագործել մաթեմատիկական մեթոդը նկարագրել ջերմային անցկացման մեխանիզմը: A հարմար օրինակ է, որուն մէջ ոչ մի դժվարություն է հաշվարկել է տարածում ջերմային էներգիայի կողմից երկաթյա ռինգում, մի մասն immersed է կրակի. Իրականացնել փորձեր Fourier կարմիր տաք մասը ռինգում եւ թաղել նուրբ ավազի մեջ. Դրանից հետո, ջերմաստիճանի չափումները իրականացվում է հակառակ մասի վրա: Սկզբում, ջերմային բաշխման անկանոն: մասն է ռինգում ցուրտ, իսկ մյուսը `տաք, միջեւ գոտիները կարող դիտարկել մի սուր ջերմաստիճանի գրադիենտ. Սակայն, ընթացքում ջերմային տարածման ողջ մետաղի մակերեսին, այն դառնում է ավելի միասնական: Այնպես որ, շուտով, այդ գործընթացը տեւում ձեւը սինուս ալիքը: Առաջին գրաֆիկի աստիճանաբար ավելանում է, եւ նվազում է նաեւ սահուն, ճշգրտութեամբ օրենքները տատանումների կոսինուսն կամ sine գործառույթը: Wave աստիճանաբար հավասարեցրեց հաշիվը եւ, որպես հետեւանք ջերմաստիճանը դառնում համազգեստ ամբողջ մակերեւույթը ռինգում:

Հեղինակն այս մեթոդի ենթադրել, որ նախնական բաշխման բավականին անկանոն կարող է decomposed մեջ մի շարք տարրական սինուս ալիքների: Նրանցից յուրաքանչյուրը կունենա իր փուլ (նախնական զբաղեցրած պաշտոնը) եւ դրա առավելագույն ջերմաստիճանը: Այսպիսով, այդ բաղադրիչներից յուրաքանչյուրն փոփոխությունները մի նվազագույնը մի առավելագույնը եւ ետ է լրացնել հեղափոխություն շուրջ օղակը ամբողջ թվերի անգամ: Բաղադրիչը ունենալով ժամանակաշրջան, որը կոչվում է հիմնարար Բարեկազմ, եւ արժեքը երկու կամ ավելի ժամանակաշրջանների - ի երկրորդ եւ այլն: Օրինակ, մի մաթեմատիկական ֆունկցիա, որը նկարագրում է առավելագույն ջերմաստիճանը, փուլային կամ պաշտոնը կոչվում է Fourier փոխակերպում է բաշխման ֆունկցիայի: Գիտնականը բերել մի բաղադրիչ, որը դժվար է մաթեմատիկական նկարագրություն, հեշտ օգտագործման գործիքների - շարքերում sine եւ կոսինուսն, չափով տալու նախնական բաշխումը:

Էությունը վերլուծության

Կիրառելով այս վերլուծության փոխակերպման ջերմային տարածման վրա պինդ օբյեկտի, ունենալու օղաձեվ ձեւավորել, մաթեմատիկոս պատճառաբանված է, որ աճող ժամկետները Sinusoidal բաղադրիչների հանգեցնել իր արագ մարում. Սա հստակ երեւում է հիմնական եւ երկրորդ ներդաշնակության: Վերջնական ջերմաստիճանը հասնում կրկնակի առավելագույն եւ նվազագույն արժեքները մեկ անցնում, իսկ առաջին, միայն մեկ անգամ: Ստացվում է, որ տարածությունը ջերմությունից երկրորդ ներդաշնակ կես է, որ հիմքում: Բացի այդ, գրադիենտ երկրորդ կեսին կլինի նաեւ steeper քան առաջինը: Հետեւաբար, քանի որ ավելի ինտենսիվ ջերմային հոսքը անցնում այրի նվազագույն հեռավորությունը, ապա դա կարող է damped ներդաշնակ չորս անգամ ավելի արագ, քան հիմնական, որպես ֆունկցիա ժամանակ: Է հետեւյալ գործընթացում կլինի նույնիսկ ավելի արագ. Մաթեմատիկոս, որ այս մեթոդը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել գործընթացը նախնական բաշխման ջերմաստիճանի ժամանակի:

զանգերի ժամանակակիցները

Fourier փոխակերպում ալգորիթմ է դարձել մարտահրավեր է տեսական հիմքերից մաթեմատիկայի ժամանակ. Վաղ տասնիններորդ դարում, առավել նշանավոր գիտնականներ, այդ թվում, Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre եւ Biot չի ընդունել իր պնդումը, որ ջերմաստիճանը նախնական բաշխման decomposed մեջ բաղադրիչներից ձեւով հիմնարար ալիքի եւ բարձրագույն հաճախականությամբ: Սակայն, Գիտությունների ակադեմիան չէր կարող անտեսել ձեռք բերված արդյունքները մաթեմատիկոս, եւ նրան պարգեւատրեց մրցանակի համար տեսության ջերմային անցկացման օրենքների, ինչպես նաեւ անցկացնելու իր համեմատություն ֆիզիկական փորձերի. Ի Fourier մոտեցման, հիմնական առարկությունը է այն փաստը, որ մի ընդհատվող ֆունկցիան ներկայացված է գումարի մի քանի Sinusoidal գործառույթների, որոնք շարունակական: Ի վերջո, նրանք նկարագրել այն bursting ուղիղ եւ կոր գծերի. Ժամանակակից գիտնական էր երբեք չեմ հանդիպել նման մի իրավիճակ, երբ ընդհատվող գործառույթները նկարագրված է մի համադրություն շարունակական, ինչպես, օրինակ, quadratic, գծային, առանց կամ ցուցադրողի: Այն դեպքում, որ մաթեմատիկոս էր ճիշտ է իր պնդումների, գումարը անսահման շարք trigonometric գործառույթները պետք է սահմանափակվի ճշգրիտ արագությամբ: Իսկ նման պահանջը թվում էր անհեթեթ: Սակայն, չնայած կասկածներին որոշ հետազոտողների (օրինակ Կլոդ Navier, Սոֆին Zhermen) ընդլայնել շրջանակը հետազոտությունների եւ նրանց հանեց վերլուծության ջերմային բաշխման. A մաթեմատիկայի, մինչդեռ, շարունակում է տառապում այն հարցին, թե արդյոք գումարը մի քանի Sinusoidal գործառույթների նվազեցվում է ճշգրիտ ներկայացուցչության bursting.

200-ամյա պատմության

Այս տեսությունը դարձել ավելի քան երկու դար, այսօր այն վերջնականապես ձեւավորվում: Օգնությամբ տարածական կամ ժամանակային գործառույթների են ներխուժել Sinusoidal բաղադրիչների, որոնք ունեն հաճախականության, փուլ եւ առատություն. Այս դարձի ձեռք բերել երկու տարբեր մաթեմատիկական մեթոդների. Դրանցից առաջինը, որն օգտագործվում է այն դեպքում, երբ աղբյուրը շարունակական գործառույթը, իսկ երկրորդը `այն դեպքում, երբ դա ներկայացված է բազմակարծության Դիսկրետ առանձին փոփոխությունների: Եթե արտահայտությունը ստացվում արժեքներից, որոնք սահմանված է Դիսկրետ պարբերականությամբ, ապա դա կարելի է բաժանել մի քանի Դիսկրետ Sinusoidal հաճախականությունների արտահայտություններ - ից, իսկ ամենացածր եւ ապա կրկնապատկվել, եռապատկվել, եւ այլն վերը հիմնարար: Այս գումարը կոչվում է Ֆուրյեի շարքը: Եթե նախնական արտահայտությունը սահմանում արժեքը յուրաքանչյուր իրական թվի, դա կարող է կոտրվել մեջ բազմաթիվ Sinusoidal բոլոր հնարավոր հաճախականությունների. Այն կոչվում է փոխակերպումը անբաժանելի, եւ այդ որոշումը ենթադրում է վերափոխման անբաժանելի գործառույթը: Անկախ այն մեթոդի ձեռքբերման համար տրանսֆորմացիան, յուրաքանչյուր հաճախականության պետք է նշի երկու համարները `լիություն եւ հաճախականությունը. Այդ արժեքները արտահայտվում են մեկ համալիր շարք: Արտահայտությունը համալիր փոփոխականների տեսությունը միասին Fourier վերափոխման կատարել հաշվարկներ թույլատրել է նախագծման տարբեր էլեկտրական սխեմաների, վերլուծությունը մեխանիկական vibrations, որ ուսումնասիրությունը ալիքի տարածման մեխանիզմի եւ մյուսը:

Fourier փոխակերպում այսօր

Մեր օրերում, որ ուսումնասիրությունը այս գործընթացի հիմնականում եռում է գտնելու արդյունավետ մեթոդներ անցումը գործառույթը փոխարկել այն ետ է մտքում. Այս լուծումը կոչվում է անմիջական եւ շրջված Fourier փոխակերպում. Ինչ է դա նշանակում? Որպեսզի որոշելու անքակտելի եւ դարձնելու ուղղակի Fourier փոխակերպում, դուք կարող եք օգտագործել մաթեմատիկական մեթոդները, բայց դուք կարող եք analytic: Չնայած այն հանգամանքին, որ երբ դրանք օգտագործվում են գործնականում կան որոշ դժվարություններ, մեծ մասը ինտեգրալներից արդեն հայտնաբերվել եւ մտել է մաթեմատիկական ձեռնարկներում: Հետ օգնությամբ թվային մեթոդների կարող է հաշվարկված արտահայտություններ, որի ձեւը, որը հիմնված է փորձարարական տվյալների, մի ֆունկցիա, որի ինտեգրալներից աղյուսակների բացակայում են, եւ դրանք դժվար է պատկերացնել որպես վերլուծական ձեւով:

Մինչեւ գալուստը համակարգչային ինժեներական հաշվարկների նման փոխակերպումներ են եղել, շատ հոգնեցուցիչ է, որ նրանք պահանջում են ձեռքով կատարումը մի մեծ թվով թվաբանական գործողությունների, որոնք կախված են մի շարք կետեր, որոնք նկարագրում են ալիքային ֆունկցիան: Հեշտացնելու նպատակով կարգավորմանը, այսօր, կան հատուկ ծրագրեր, թույլատրվում է իրականացնել նոր վերլուծական մեթոդներ. Այնպես որ, 1965 թ., Dzheyms Կուլի եւ Dzhon Tyuki ստեղծված ծրագրային է, որ հայտնի դարձավ որպես «Արագ Fourier փոխակերպում»: Այն փրկում է ժամանակը, որ հաշվարկման նվազեցնելով թիվը բազմապատկման վերլուծության կորի. «Արագ Fourier փոխակերպում» Մեթոդը հիմնված է բաժանելով կորի մեջ մեծ թվով միասնական ընտրանքային արժեքների: Ըստ այդմ, այդ թիվը բազմապատկման կրճատվել է կիսով չափ, միեւնույն նվազեցնելու միավորներ.

Կիրառելով այդ Fourier փոխակերպում

Այս գործընթացը օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում: Ի թվերի տեսության, ֆիզիկայի, ազդանշանի մշակման, Կոմբինատորիկա, հավանականությունների տեսության, ծածկագիտություն, վիճակագրության, oceanography, օպտիկայի, ակուստիկայի եւ այլ geometries: Հարուստ հնարավորությունները դրա օգտագործման հիմնված են մի շարք օգտակար առանձնահատկություններ, որոնք կոչվում են «հատկությունների Fourier վերափոխման" Եկեք քննենք նրանց.

1. Փոխակերպման գործառույթը գծային օպերատորը եւ համապատասխան հարաբերությունների կարգավորման միատարր է: Այս գույքը հայտնի է որպես Parseval թեորեմի, կամ ընդհանուր դեպքում, թեորեմը Plansherelja կամ Pontrjagin երկվություն:

2. դարձի շրջելի. Ընդ որում, հակառակ արդյունքն է էապես համանման ձեւը, ինչպես անմիջական դիմելով:

3. Sinusoidal հիմնական արտահայտությունները, որոնք իրենց սեփական տարբերակված գործառույթները: Սա նշանակում է, որ նման ներկայացուցչություն փոխում գծային հավասարումների հետ մշտական գործակիցների է պայմանական հանրահաշվական.

4. Ըստ «փաթաթում» թեորեմի, այդ գործընթացը դարձնում համալիր գործողություններ տարրական բազմապատկում:

5. Դիսկրետ Fourier փոխակերպում կարող է արագ նախագծված վրա համակարգչի օգտագործելով «արագ» մեթոդը:

Տատանումները Fourier փոխակերպում

1. Շատ հաճախ տերմինը օգտագործվում է անդրադառնալ մի շարունակական վերափոխման, ապահովելով որեւէ quadratically integrable արտահայտություն որպես գումարի բարդ էքսպոնենտալ արտահայտվելու հատուկ անկյունային հաճախականությունների եւ amplitudes. Այս տեսակ ունի մի քանի տարբեր ձեւեր, որոնք կարող են լինել տարբեր constant գործակիցները: Շարունակական մեթոդը ներառում է դարձի սեղան, որը կարելի է մաթեմատիկական ձեռնարկներում: A ընդհանրացված գործը կոտորակային դարձի, որով այդ գործընթացը կարող է բարձրացվել ցանկալի իրական իշխանության.

2. շարունակական մեթոդը ընդհանրացումը վաղ տեխնիկայի Fourier շարքի համար սահմանված ցանկացած պարբերական գործառույթների կամ արտահայտություններ, որոնք առկա են սահմանափակ տարածքում, եւ ներկայացնում է նրանց, որպես մի շարք sinusoids:

3. Դիսկրետ Fourier փոխակերպում. Այս մեթոդը կիրառվում է հաշվողական գիտական հաշվարկի եւ թվային ազդանշանի մշակման. Իրականացնել այս տիպի հաշվարկման պահանջվում է ունենալ գործառույթը որոշման վրա դիսկրետ շարք անհատական միավորով, պարբերական կամ սահմանափակ տարածաշրջանը շարունակական Fourier ինտեգրալների: Ազդանշան դարձի այս դեպքում ներկայացված է որպես գումարի sinusoids: Օգտագործումը «Արագ» մեթոդի թույլ է տալիս օգտագործել թվային լուծումներ բոլոր գործնական նպատակներով:

4. պատուհանը Fourier փոխակերպում է ընդհանրացված տեսք է դասական մեթոդով: Ի տարբերություն ստանդարտ լուծումներ, երբ ազդանշանը սպեկտրը օգտագործվում է, որը վերցված է ամբողջական շարք գոյության այս փոփոխական է առանձնակի հետաքրքրություն այստեղ միայն տեղական հաճախականությունը բաշխումը, իսկ պահպանելով բնօրինակը փոփոխական, (ժամանակ):

5. երկչափ Fourier փոխակերպում. Այս մեթոդը կիրառվում է աշխատել երկու ծավալային զանգվածների տվյալները: Այդ դեպքում, փոխակերպման կատարվում է մեկ ուղղությամբ, իսկ այնուհետեւ `մյուս:

եզրափակում

Այսօր, այդ Ֆուրիեի մեթոդը ամուր արմատավորված է տարբեր ոլորտներում գիտության. Օրինակ, 1962 թ., Այն բացել է ձեւավորել է ԴՆԹ կրկնակի պարույրի օգտագործելով Ֆուրյեի անալիզ հետ համատեղ X-ray դիֆրակցիոն. Վերջին բյուրեղները կենտրոնացած է ԴՆԹ մանրաթելից, որի արդյունքում պատկերը, որը ստացվել է դիֆրակցիայի, արձանագրված է ֆիլմի. Այս նկարը տվել տեղեկատվություն մասին արժեքի լիություն օգտագործելով Fourier փոխակերպում է այս բյուրեղյա կառուցվածքի. Փուլ ստացված տվյալները համեմատելով ԴՆԹ դիֆրակցիայի քարտեր քարտերով, որոնք ձեռք բերված վերլուծության համանման քիմիական կառույցների. Որպես հետեւանք, կենսաբանները վերականգնվել բյուրեղյա կառուցվածքը բուն գործառույթը:

Fourier փոխակերպում խաղալ մեծ դեր է ուսումնասիրության արտաքին տարածության մեջ, ֆիզիկայի կիսահաղորդչային նյութերի եւ պլազմա, Միկրոալիքային ակուստիկա, oceanography, ռադարային, սեյսմոլոգիայի եւ բժշկական քննությունների.